宣传假货涉及的法律主要包括《中华人民共和国反不正当竞争法》、《中华人民共和国广告法》和《中华人民共和国消费者权益保护法》。具体的法律责任如下：
第八条：
经营者不得对其商品的性能、功能、质量、销售状况、用户评价、曾获荣誉等作虚假或者引人误解的商业宣传，欺骗、误导消费者。经营者不得通过组织虚假交易等方式，帮助其他经营者进行虚假或者引人误解的商业宣传。
第九条：经营者不得利用广告或者其他方法，对商品的质量、制作成分、性能、用途、生产者、有效期限、产地等作引人误解的虚假宣传。广告的经营者不得在明知或者应知的情况下代理、设计、制作、发布虚假广告。
第二十四条：经营者利用广告和其他方法，对商品作引人误解的虚假广告的，监督检查部门应责令停止违法行为，消除影响，并可根据情节处1万元以上20万元以下的罚款。
第三条：
广告应当真实合法，符合社会主义精神文明建设的要求。广告不得含有虚假的内容，不得欺骗和误导消费者。
第十五条：广告主、广告经营者、广告发布者从事广告活动，应当遵守法律、行政法规，遵循公平、诚信的原则，不得损害社会公共利益和他人合法权益。
第十八条：广告代言人在广告中对商品、服务作推荐、证明，应当依据事实，不得为其未使用过的商品或者未接受过的服务作推荐、证明。
第三十八条：发布虚假广告，欺骗和误导消费者，使其合法权益受到损害的，广告主应负担民事责任。广告经营者、广告发布者不能提供广告主的真实名称、地址的应承担全部民事责任。广告经营者、广告发布者明知或者应知广告虚假仍设计、制作、发布的，应当依法承担连带责任。
第五十五条：违反本法规定，发布虚假广告，欺骗、误导消费者，使购买商品或者接受服务的消费者的合法权益受到损害的，由广告主依法承担民事责任。广告经营者、广告发布者明知或者应知广告虚假仍设计、制作、发布的，应当依法承担连带责任。广告经营者、广告发布者不能提供广告主的真实名称、地址和有效联系方式的，消费者可以要求广告经营者、广告发布者先行赔偿。
第四十四条：
消费者通过网络交易平台购买商品或者接受服务，其合法权益受到损害的，可以向销售者或者服务者要求赔偿。网络交易平台提供者不能提供销售者或者服务者的真实名称、地址和有效联系方式的，消费者也可以向网络交易平台提供者要求赔偿。网络交易平台提供者作出更有利于消费者的承诺的，应当履行承诺。网络交易平台提供者赔偿后，有权向销售者或者服务者追偿。
总结：
宣传假货的法律责任主要包括民事责任和行政责任。民事责任方面，发布虚假广告的广告主、广告经营者、广告发布者需承担连带责任，消费者可要求赔偿损失并进行加倍赔偿。行政责任方面，相关责任方可能会被责令停止违法行为、消除影响、罚款，严重者甚至可能被吊销营业执照。
